玻色统计和费米统计课件

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1、第九章 第九章 玻色统计和费米统计 玻色统计和费米统计第九章 玻色统计和费米统计第九章 第九章 玻色统计和费米统计 玻色统计和费米统计9.1 热力学量的统计表达式9.2 弱简并玻色气体和费米气体9.3 光子气体9.4 玻色-爱因斯坦凝聚9.5 金属中的自由电子气体第九章 第九章 玻色统计和费米统计 玻色统计和费米统计9.19.1热热力学量的力学量的统计统计表达式表达式玻色分布 玻色分布费米分布 费米分布9.1.19.1.1玻色系玻色系统统把,和y看作由实验确定的参量.1、巨配分函数第九章 第九章 玻色统计和费米统计 玻色统计和费米统计取对数为对取偏导为2、系统的平均总粒子数第九章 第九章 玻色

2、统计和费米统计 玻色统计和费米统计3、系统的内能4、广义作用力重要特例（证明略）（证明略）第九章 第九章 玻色统计和费米统计 玻色统计和费米统计5、系统的熵统计表达式由开系方程1/T是dS 的积分因子配分函数（，y）的全微分为根据前面求出的已知量，可求得(拉氏乘法原理，加上一个为0的项)第九章 第九章 玻色统计和费米统计 玻色统计和费米统计上式指出是的积分因子。令第九章 第九章 玻色统计和费米统计 玻色统计和费米统计积分得系统的熵统计表达式玻耳兹曼关系熵与微观状态数的关系6、巨热力学化学势巨热力势J与巨配分函数的关系：第九章 第九章 玻色统计和费米统计 玻色统计和费米统计9.1.29.1.2费

3、米系统费米系统巨配分函数其对数为平均总粒子数内能广义作用力重要特例熵玻耳兹曼关系巨热力势第九章 第九章 玻色统计和费米统计 玻色统计和费米统计9.29.2弱弱简简并玻色气体和并玻色气体和费费米气体米气体 1、满足经典极限条件的气体称为非简并性气体 2、需要用玻色分布或费米分布讨论的气体称为简并性气体 其中又分为完全简并气体和弱简并气体、分子的能量9.2.2弱简并气体（不考虑分子内部结构，只有平动自由度）9.2.1分类第九章 第九章 玻色统计和费米统计 玻色统计和费米统计在体积V内，在到+d 的能量范围内，分子可能的微观状态数 其中：g由粒子可能具有自旋而引入的简并度、系统的总分子数代入、系统的

4、内能 代入下面要确定式子中的拉氏乘子2、微观状态数第九章 第九章 玻色统计和费米统计 玻色统计和费米统计系统的内能系统的总分子数引入变量 变量xx=，且=1/=1/kTkT，ddxx=dd，两式被积函数的分母表示为代入保留展开的第一项相当于将费米分布近似为玻耳兹曼分布现在保留两项，相当于弱简并的情形。第九章 第九章 玻色统计和费米统计 玻色统计和费米统计系统的内能系统的总分子数两式相除第九章 第九章 玻色统计和费米统计 玻色统计和费米统计玻耳兹曼分布的内能微观粒子全同性原理引起的粒子统计关联所导致的附加内能在弱简并情形下附加内能的数值是小的。费米气体的附加内能为正而玻色气体的附加内能为负。指粒

5、子的统计关联使费米粒子间出现等效的排斥作用，玻色粒子间则出现等效的吸引作用。第九章 第九章 玻色统计和费米统计 玻色统计和费米统计 在第四章我们根据热力学理论论证过平衡辐射的内能密度和内能密度的频率分布只与温度有关，并证明了内能密度与绝对温度的四次方成正比。在第八章中又根据经典统计的能量均分定理讨论过这一问题，所得内能的频率分布在低频范围与实验符合，在高频范围与实验不符合。更为严重的是，根据能量均分定理有限温度下平衡辐射的内能和定容热容量是发散的，与实际不符。本节根据量子统计理论，从粒子观点研究平衡辐射问题。9.39.3光子气体光子气体根据粒子观点，可以把空窖的辐射场看作光子气体。模型：第九章

6、 第九章 玻色统计和费米统计 玻色统计和费米统计光子的能量、动量关系：具有一定的波矢k和圆频率的单色平面波与具有一系的光子相应，动量p与波矢k，能量与圆频率之间遵从德布罗意关系9.3.1统计分布光子是玻色子，达到平衡后遵从玻色分布。第九章 第九章 玻色统计和费米统计 玻色统计和费米统计光子气体的统计分布由于窖壁不断发射和吸收光子，光子气体中光子数是不守恒的。在导出玻色分布时只存在E 是常数的条件而不存在N 是常数的条件，因而只应引进一个拉氏乘子,令。平衡状态下光子气体的化学势为零。体积为V 的空窖内,在p到p+dp的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为光子自旋有两个投影.第九章 第九章 玻色统

7、计和费米统计 玻色统计和费米统计体积为V的空窖内,p到p+dp的动量范围内，光子的量子态数(光子自旋有两个投影)体积为V的空窖内，在到+d 的圆频率范围内，光子的量子态数每个量子态上的平均光子数第九章 第九章 玻色统计和费米统计 玻色统计和费米统计9.3.2辐射场的内能普朗克公式上式所给出的辐射场内能按频率的分布与实验结果完全符合。1、低频2、高频维恩公式瑞利金斯公式第九章 第九章 玻色统计和费米统计 玻色统计和费米统计10-14Hz6543210MT=2000K实验曲线和普朗克公式维恩公式瑞利金斯公式 普朗克公式所给出的辐射场内能按频率的分布与实验结果完全符合。第九章 第九章 玻色统计和费米

8、统计 玻色统计和费米统计1896年得到的公式，表明U 随 的增加而迅速趋近于0温度为T 时的平衡辐射中，高频光子几乎不存在此时窖壁发射高频光子的概率是极小的。将普朗克公式积分，得到空窖辐射内能引入变量x=kT(kT/)dx=d 第九章 第九章 玻色统计和费米统计 玻色统计和费米统计表明：平衡辐射的内能密度与绝对温度的四次方成正比斯特藩玻耳兹曼公式空窖辐射内能第九章 第九章 玻色统计和费米统计 玻色统计和费米统计根据普朗克公式的变式空窖辐射内能密度随的分布有一个极大值m m可以由决定出来.其解为上式可化为m与温度T成正比这个结论称为维恩位移定律 维恩位移定律第九章 第九章 玻色统计和费米统计 玻

9、色统计和费米统计9.3.39.3.3光子气体的光子气体的热热力学函数力学函数1、巨配分函数 取对数为令(光子自旋有两个投影)体积为V的空窖内，在到+d 的圆频率范围内，光子的量子态数第九章 第九章 玻色统计和费米统计 玻色统计和费米统计引入变量 变量xx=kTkT(kT kT/)dxx=dd 第九章 第九章 玻色统计和费米统计 玻色统计和费米统计第九章 第九章 玻色统计和费米统计 玻色统计和费米统计2、内能3、广义作用力(光子气体的压强)比较得4、熵令光子气体的熵随T 0而趋于0符合热力学第三定律的要求5、辐射通量密度第九章 第九章 玻色统计和费米统计 玻色统计和费米统计9.49.4玻色玻色-

10、爱爱因斯坦凝聚因斯坦凝聚本节讨论简并理想玻色气体在动量空间的凝聚问题。考虑由个全同，近独立的玻色子组成的系统，温度为T，体积为V 设粒子自旋为零，根据玻色分布，处在能级l 的粒子数为从上式可看出，这要求对所有能级l 均有以0 表粒子的最低能级，这个要求也可以表达为 显然，处在任一个能级的粒子都不能取负值。说明：理想玻色气体的化学势必须低于粒子最低能级的能量。第九章 第九章 玻色统计和费米统计 玻色统计和费米统计如果取最低能级为能量的零点即0，则上式可以表为化学势 由公式 确定为温度T 及粒子数密度n=N/V 的函数。在粒子数密度n 给定的情形下，温度越低由上式确定的 值必然越高。如果将上式的求

11、和用积分代替，可将之表达为其中用了态密度的公式适用于热力学极限或能级间距远小于kT 的情况第九章 第九章 玻色统计和费米统计 玻色统计和费米统计临界温度TC由下式定出利用积分因此对给定的粒子数密度n，临界温度TC为化学势既随温度的降低而升高，当温度降到某一临界温度TC时，将趋于-0。这时趋于。第九章 第九章 玻色统计和费米统计 玻色统计和费米统计温度低于时会出现什么现象呢？温度越低时，化学式 越高，但在任何温度下 必是负的化学势既随温度的降低而升高，T TC时，仍趋于-0。改写为第一项：n0(T)是温度为T 时处在能级 的粒子数密度，第二项：处在激发能级 的粒子数密度n，将积分代替求和时所产生

12、的误差不可以忽略时，第九章 第九章 玻色统计和费米统计 玻色统计和费米统计计算第二项：利用积分处在激发能级的粒子数密度第九章 第九章 玻色统计和费米统计 玻色统计和费米统计温度为T 时处在能级 0的粒子数密度在TC以下，n0与n 具有相同的量级，n0随温度的变化如图所示表明：在T TC时宏观量级的粒子在能级 0凝聚1.01.00.80.80.60.60.40.4 0.20.2n0/nT/TC0第九章 第九章 玻色统计和费米统计 玻色统计和费米统计在绝对零度下，粒子尽可能占据能量最低的状态。对于玻色粒子，一个个体量子态所能容纳的粒子数目不受限制。绝对零度下，玻色粒子将全部处在0的最低能级。在T

13、TC时宏观量级的粒子在能级0凝聚。这一现象称为玻色爱因斯坦凝聚 玻色爱因斯坦凝聚，简称玻色凝聚 玻色凝聚。TC称为凝聚温度。凝聚在0的粒子集合称为玻色凝聚体。凝聚体不但能量为零；动量也为零，对压强没有贡献。由于凝聚体的的微观状态完全确定，熵也为零。Ketterle在钠原子气中实现的BEC玻色-爱因斯坦凝聚仿真第九章 第九章 玻色统计和费米统计 玻色统计和费米统计在T TC时，理想玻色气体的内能是处在能级0的粒子能量的统计平均值利用积分第九章 第九章 玻色统计和费米统计 玻色统计和费米统计定容热容量为表明：在TT时，理想玻色气体的定容热容量与T3/2成正比。T=TC时，理想玻色气体的定容热容量达

14、到最大值1.925Nk.高温时，理想玻色气体的定容热容量应趋于经典值3/2Nk.2.02.0C/NkT/TC1.01.03/2在T=TC时的尖峰处，理想玻色气体的定容热容量连续。但理想玻色气体的定容热容量对T 的偏导数存在突变。第九章 第九章 玻色统计和费米统计 玻色统计和费米统计爱因斯坦的理论预言以后，如何在实验中实现并观察到 玻色 玻色 爱 爱 因斯坦凝聚 因斯坦凝聚现象，成为人们关注的问题221 3446810T/KCV/(Jg-1K-1)将4He 的数据m=6.6510-27kg，Vm=27.610-6m3mol-1代入到临界温度的表达式算得TC=3.13K，与T 相接近4He 是玻色

15、子，大气压下4He 的沸点是4.2K，液4He 在T=2.17K 发生一个相变，称为 相变。温度高于T 时，液4He 是正常液体，称为HeI；温度低于T 时，液4He 具有超流动性，称为液HeII第九章 第九章 玻色统计和费米统计 玻色统计和费米统计发现的超流性质后，伦敦在1938年提出4He 的 相变可能是一种玻色凝聚超流与凝聚在 的玻色凝聚体有关当然液4He 不是理想玻色系统，其原子之间存在很强的相互作用，使对4He 中玻色凝聚的理论分析及其与实验的比较变得复杂化改写为满足上式时，原子的热波长与平均间距具有相同的量级量子统计关联起着决定性的作用出现凝聚体条件可以通过减低温度和增加气体粒子数

16、密度实现玻色凝聚将式子第九章 第九章 玻色统计和费米统计 玻色统计和费米统计9.5金属中的自由电子气体9.5.1简化模型假设在晶格之中,晶格对电子没有吸引力,即势场中的电势为0.在引力场中运动的电子之间,斥力为0.这样的价电子可以看作处在一个恒定的势阱中的自由电子.形成自由电子气体.自由电子模型容易解释金属的导电性和导热性.原子结合成金属后,价电子脱离原子在整个金属中运动,失去价电子后的原子变为离子.第九章 第九章 玻色统计和费米统计 玻色统计和费米统计9.5.2统计理论1.电子自旋为1/2.是费米子.2.遵从量子统计的费米分布3.温度为T 时,处在能量为 的一个量子态上的平均粒子数:4.考虑

17、到电子自旋在其动量的方向的投影有两个可能值，在体积V 内，在 到 d 的能量范围内，电子的量子态数为第九章 第九章 玻色统计和费米统计 玻色统计和费米统计5.在体积V 内，在 到 d 的能量范围内，平均电子数为6.在给定电子数N，温度T 和体积V 时，则化学势 由下式确定可知,是温度T 和电子密度N/V 的函数.第九章 第九章 玻色统计和费米统计 玻色统计和费米统计以(0)表示0K 时电子气体的化学势。9.5.3TT=0K=0K时电时电子的基子的基态态分布分布T=0K 时,处在能量为 的一个量子态上的平均粒子数:(0)时(0)时1.用图形表示为01f(0)2.意义：在T=0K 时，在(0)的每

18、一量子态上平均电子数为1，在(0)的每一量子态上平均电子数为零。第九章 第九章 玻色统计和费米统计 玻色统计和费米统计此分布可以这样理解：在0K 时电子将尽可能占据能量最低的状态，但泡利不相容原理限制每一量子态最多只能容纳一个电子，因此电子从=0 的状态起依次填充至(0)止。3.(0)是0K 时电子的最大能量，由下式确定：01f(0)第九章 第九章 玻色统计和费米统计 玻色统计和费米统计积分4.p(0)是0K 时电子的最大动量称为费米动量给定温度T 和电子密度N/V.就可求出(0)例如：铜的N/V 8.51028m-3,得(0)=1.110-18J第九章 第九章 玻色统计和费米统计 玻色统计和

19、费米统计5.0K 时，电子气体的内能.也就是总内能各个能级6.0K 时，电子气体的平均能量第九章 第九章 玻色统计和费米统计 玻色统计和费米统计7.定义费米温度例如：铜的TF7.8104K.8.一般情况下，金属中自由电子气体的化学势 与(0)的数值很接近化学势 也常称为费米能量或费米能级以F表示一般情形下，kT 金属中自由电子气体是高度简并的第九章 第九章 玻色统计和费米统计 玻色统计和费米统计9.5.4TT0K0K时电时电子的分布子的分布温度为T时,处在能量为的一个量子态上的平均粒子数:时时1.1.用图形表示为 用图形表示为时每一量子态上平均电子数大于1/2每一量子态上平均电子数等于1/2每

20、一量子态上平均电子数小于1/2函数按指数规律随变化，实际上只在附近数量级为kT的范围内，电子的分布与T=0K时的分布有差异01f1/2第九章 第九章 玻色统计和费米统计 玻色统计和费米统计在0K 时，电子占据了从0到(0)的每一个量子态温度升高时，电子有可能跃迁到能量较高的未被占据的状态去但处在低能态的电子要跃迁到能量较高的未被占据的状态去，必须吸取很大的能量，而这种可能性是很小的2.根据这一考虑可以粗略估计电子气体的热容量在 附近，数量级为kT 的能量范围内的对热容量有贡献的有效电子数01f1/2只在 附近数量级为kT 的能量范围内电子能够跃迁因此，只在 附近，数量级为kT 的能量范围内的电

21、子对热容量有贡献第九章 第九章 玻色统计和费米统计 玻色统计和费米统计将能量均分定理应用于有效电子，每一有效电子对能量的贡献为3kT/2，则金属中自由电子对热容量的贡献为在室温范围金属中自由电子对热容量的贡献远小于经典理论的数值，与离子振动的热容量相比，电子的热容量可以忽略不计电子数N 满足上式确定自由电子气体的化学势。9.5.5电电子气体的子气体的热热容量容量第九章 第九章 玻色统计和费米统计 玻色统计和费米统计以上两式的积分都可写成下述形式其中分别为和，常数电子气体的内能U 为在右方第一项令第九章 第九章 玻色统计和费米统计 玻色统计和费米统计可得在上式右方第二项中，已把积分上限都取作。这

22、是因为/kT，而且因为被积函数分母中的ex因子使对积分的贡献主要来自x小的范围。可以将被积函数的分子展开为x的幂级数，只取到x的一次项而得因此粒子数和内能可表为第九章 第九章 玻色统计和费米统计 玻色统计和费米统计由上式得当T0时，得在第二项中用kT/(0)代替kT/而得 将上式代入内能表达式，第九章 第九章 玻色统计和费米统计 玻色统计和费米统计并作相应的近似，可得 自由电子气体的内能电子气体的定容热容量为这结果与前面粗略分析的结果只有系数的差异。在常温范围电子的热容量远小于离子振动的热容量。但在低温范围，离子振动的热容量按T3随温度而减少；电子容量与T 成正比，减少比较缓慢。所以，在足够低的温度下电子的热容量就不能忽略。第九章 第九章 玻色统计和费米统计 玻色统计和费米统计结 束！